Содержание
- этапы
- Часть 1 Учимся факторизовать x + bx + c
- Часть 2 Учимся разбирать более сложные триномы
- Часть 3 Некоторые частные случаи триномиализации
Как видно из названия, трином является математическим выражением, которое принимает форму суммы трех слагаемых. Чаще всего мы начинаем изучать триномы второй степени, которые таким образом подписываются: ax + bx + c. Существует несколько способов факторизации тринома второй степени. С практикой вы доберетесь туда без труда. Методы, которые мы собираемся увидеть, не применимы к триномам более высокой степени (с x или x). Однако, работая с этими последними триномами, можно прибегнуть к триномам второй степени. Мы видим все это в деталях.
этапы
Часть 1 Учимся факторизовать x + bx + c
-
Используйте метод СВДС. Вы можете знать это, но давайте вспомним, о чем это все. Когда вам нужно разработать произведение биномов - например, (x + 2) (x + 4) - вы должны суммировать произведения различных терминов в порядке «Первый, Внешний, Внутренний, Последний». Подробно это дает:- умножить первый сроки между ними:х+2)(х+4) = х + __
- умножить условия внешний между ними :(х2) (х +4) = х + 4x + __
- умножить условия внутренний между ними: (х +2)(х+4) = х + 4х + 2x + __
- умножить последний условия между ними: (х +2) (Х +4) = х + 4х + 2х + 8
- Завершите, упрощая: х + 4x + 2x + 8 = х + 6х + 8
-
Понять, что такое факторизация Когда вы разрабатываете произведение двух пар, вы получаете трином в форме: имеетх +бх +с, a, b и c - действительные числа. Когда мы делаем обратную операцию, переходя от тринома к биномиальному произведению, мы говорим, что мы factorises.- Для ясности, термины тринома должны быть ранжированы в порядке убывания мощности. Итак, если мы дадим вам: 3x - 10 + xнужно переписать по порядку: х + 3х - 10.
- Наибольший показатель степени 2 (x), мы говорим о триноме «второй степени».
-
В начале факторизации мы ставим продукт в виде биномов. Написать: (__ __)(__ __), Мы будем постепенно заполнять свободные места, а также знаки.- На данный момент мы не ставим знак (+ или -) между двумя членами биномов.
-
Вы должны начать с нахождения первых членов каждой пары. Если ваш трехчлен начинается с x, первые два члена пары обязательно х и хтак как х раз х = х.- Наше начальное триномиальное существо: x + 3x - 10, и поскольку в x нет коэффициента, мы можем сразу написать:
- (х __) (х __)
- Позже мы увидим, как это происходит, когда коэффициент x отличается от 1, например, 6x или -x. На данный момент мы остались в этом простом случае.
-
Попробуйте угадать, какими будут последние члены пары. Посмотрите, как с помощью метода PEID были разработаны последние члены биномов. Теперь мы должны сделать обратное. Затем мы умножили два последних члена, чтобы получить последний член («константу») тринома. Итак, вам нужно будет найти два числа, которые, умноженные между ними, дадут вам константу тринома.- В нашем примере: х + 3х - 10, константа -10.
- Какие факторы -10? Каковы два числа, которые, умноженные между ними, дадут вам -10?
- Вот все возможные случаи: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 и 2 x -5. Напишите эти комбинации где-нибудь, чтобы вы помнили.
- На данный момент ваш биномиальный продукт остается неизменным. Он всегда выглядит так: (х __) (х __).
-
Проверьте различные комбинации. Из константы вам удалось идентифицировать некоторые комбинации факторов, с которыми нужно работать (если триномиал сводится). На данный момент, нет других решений, кроме как проверить каждую комбинацию, чтобы увидеть, удовлетворяет ли одно из них трехчлену. Например:- В нашем примере сумма продукта «Внешний» и продукта «Внутренний» должна быть 3х (взято из х + 3x - 1)
- Возьмите комбинацию -1 и 10: (х - 1) (х + 10). Сумма произведения «Внешний» и произведения «Внутренний» дает: 10x - x = 9x. Не работает!
- Возьмите комбинацию 1 и -10: (х + 1) (х - 10). Сумма произведения «Внешний» и произведения «Внутренний» дает: -10x + x = -9x. Это все еще не идет! Попутно вы заметите, что эта последняя проверка была бесполезна. Действительно, пара (-1.10) дает 9x, а пара (1, -10) дает -9й. Так что просто протестируйте одну пару.
- Возьмите комбинацию -2 и 5: (х - 2) (х + 5). Сумма произведения «Внешний» и произведения «Внутренний» дает: 5х - 2х = 3х. Эврика! Ответ: (х - 2) (х + 5).
- В случае простых трехчленов, таких как этот (начиная с x), мы можем сделать короче. Просто добавьте два потенциальных фактора, добавьте «х» в конце, и вы сразу увидите, правильная ли это комбинация. Там вы делаете: -2 + 5 → 3x. Если x окружен коэффициентом, то метод не работает, поэтому хорошо помнить подробный метод.
Часть 2 Учимся разбирать более сложные триномы
-
Разложите ваш трином в более простой трином. Предположим, вам нужно разложить следующий трином: 3x + 9x - 30, Попытайтесь выяснить, не существует ли делитель, общий для всех трех терминов. Затем мы берем самый большой (если их несколько), из которого его название «Величайший общий делитель» (или PGCD). В нашем триноме это будет 3. Давайте посмотрим на это подробно:- 3x = (3) (x)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Таким образом, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Следовательно, легко ввести вторую скобку в соответствии со способом, описанным выше. Получаем следующим образом: (3) (х-2) (х + 5), Мы не должны забывать 3 положить в фактор.
-
Иногда мы не можем учесть реальные цифры, но количества с неизвестными. Таким образом, мы можем учесть «х», «у» или «ху». Вот несколько примеров:- 2xy + 14xy + 24y = (2y)(х + 7х + 12)
- х + 11х - 26х = (Х)(х + 11х - 26)
- -x + 6x - 9 = (-1)(х - 6х + 9)
- Затем, конечно, рассмотрим новый трином, как мы видели ранее. Проверьте, нет ли ошибок. Практикуйтесь с упражнениями, предложенными в конце этой статьи.
-
Попробуйте разложить триномы по x с коэффициентом. Некоторые триномы второй степени сложнее разложить, образ 3х + 10х + 8. Посмотрим, как мы поступим, а затем то, что вы можете тренировать, с помощью упражнений, предложенных в конце статьи. Вот как мы работаем:- Спросите произведение пар: (__ __)(__ __)
- Каждый из двух «первых» терминов должен иметь «х», а произведение обоих должно быть 3х. Есть только одна возможность: (3x __) (x __)3 - простое число.
- Найти факторы 8. Есть две возможности: 1 х 8 или 2 х 4.
- Возьмите эти комбинации, чтобы найти константы пар. Важный момент: поскольку неизвестный «х» имеет разные коэффициенты, важен порядок комбинации. Вы должны найти конец середины, здесь, 10x. Вот разные комбинации:
- (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x нет!
- (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x нет!
- (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x нет!
- (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10 раз да! Это правильная факторизация.
-
При наличии неизвестного, имеющего силу больше 2, можно создать неизвестную замену. Однажды вам непременно нужно будет разложить на множитель четвертой (x) или пятой степени (x). Цель состоит в том, чтобы вернуть этот трином к чему-то известному, то есть триному второй степени, чтобы разложить без проблем. Например:- х + 13х + 36х
- = (х) (х + 13х + 36)
- Придумайте новое неизвестное, которое упростит задачу. Мы положим здесь, что Y = x. Мы ставим заглавную Y, чтобы помнить, что это суррогат. Триномиал тогда становится:
- = (x) (Y + 13Y + 36): мы разлагаем как в части 1.
- = (х) (Y + 9) (Y + 4). Настало время заменить неизвестную замену ее истинным значением:
- = (х) (х + 9) (х + 4)
- = (х) (х + 3) (х - 3) (х + 2) (х - 2)
Часть 3 Некоторые частные случаи триномиализации
-
Ищите возможные простые числа. Посмотрите, не будет ли константа и / или коэффициент первого или третьего члена простыми числами. Напомним, что число называется «простым», когда оно делится только на 1 или на себя. Исходя из этого определения, если мы найдем простое число в указанных выше местах, трином можно разложить только в виде одного произведения биномов.- Например, в х + 6х + 5 постоянная 5 является простым числом, поэтому биномиальное произведение будет иметь вид: (__ 5) (__ 1)
- В 3х + 10х + 8 коэффициент 3 является простым числом, поэтому произведение биномов будет иметь вид: (3x __) (x __).
- Наконец, в 3x + 4x + 1, 3 и 1 Будучи простыми числами, единственно возможное решение: (3x + 1) (x + 1). Однако всегда проверяйте комбинацию. Бывает, что некоторые триномы не могут быть учтены. Таким образом, 3x + 100x + 1 не может быть учтено (мы говорим, что оно «неприводимо»). С 3 и 1 вы никогда не получите 100.
-
Нужно всегда думать о случае тринома, который был бы развитием замечательной идентичности, идеального квадрата, чтобы взять только этот пример. Под совершенным квадратом мы понимаем произведение двух совершенно одинаковых пар: (x + 1) (x + 1), которое мы записываем (x + 1). Вот некоторые из этих идеальных квадратов:- х + 2х + 1 = (х + 1) и х - 2х + 1 = (х - 1)
- х + 4х + 4 = (х + 2) и х - 4х + 4 = (х - 2)
- х + 6х + 9 = (х + 3) и х - 6х + 9 = (х - 3)
- Трином имеетх + бх + с является развитие идеального квадрата, если имеет и с сами являются положительными квадратами (например, 1, 4, 9, 16, 25 ...), и если б (положительный или отрицательный) равен 2 (√a x √c) = 2 √ac.
-
Посмотрите, можно ли факторизовать. Действительно, я - это триномы, которые не могут быть учтены. Если вы изо всех сил пытаетесь вычленить трином из второй канонической формы ax + bx + c, потому что нет очевидных корней, вы должны использовать дискриминантный (Δ) метод. Последний рассчитывается следующим образом: Δ = √b - 4ac. Если Δ <0, то трехчлен не может быть разложен.- Для триномов, не имеющих второй степени, используйте критерий Эйзенштейна, описанный в разделе «Советы».