Содержание
- этапы
- Начать
- Метод 1 из 3: Продолжить методом проб и ошибок
- Метод 2 из 2: продолжить разложением
- Метод 3 из 3: «Тройная игра»
- Метод 4 из 4: Разница двух квадратов
- Метод 5 из 5: Использование квадратной формулы
- Метод 6 из 6: Использование калькулятора
Полином состоит из переменной (x), возведенной в определенную степень, называемую степенью полинома, и нескольких других членов более низких степеней и / или нескольких других констант. Разложить множитель второй степени (также называемый «квадратным уравнением») означает свести начальное выражение к произведению выражений меньшей степени, которые затем могут быть умножены одно на другое. Эти знания являются частью курса средней школы и более, поэтому эту статью может быть трудно понять, если у вас еще нет необходимого уровня математики.
этапы
Начать
-
Напишите свое выражение. Стандартная форма уравнения второй степени:ax + bx + c = 0
Начните с расстановки членов вашего уравнения в соответствии с порядком степеней, от самых больших до самых маленьких, как в стандартной форме. Взять, к примеру:6 + 6x + 13x = 0
Мы изменим это выражение, чтобы облегчить работу, просто переместив термины:6x + 13x + 6 = 0. -
Найдите факторизованную форму, используя один из методов, описанных ниже. Факторизация даст два более коротких выражения, которые дадут начальный полином, если мы умножим их одно на другое:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
В этом примере (2x +3) и (3x + 2) факторы начального выражения, 6x + 13x + 6. -
Проверь свою работу! Умножьте факторы, которые вы определили. Затем объедините подобные термины, и все будет готово. Начните с:(2х + 3) (3х + 2)
Давайте начнем тестировать это выражение, умножив условия двух выражений, чтобы получить:6x + 4x + 9x + 6
Оттуда мы можем добавить 4x и 9x, потому что они являются терминами одинаковой степени. Мы знаем тогда, что наши факторы верны, потому что мы хорошо подходим к выражению отправления:6x + 13x + 6.
Метод 1 из 3: Продолжить методом проб и ошибок
Если вы имеете дело с довольно простым многочленом, вы сможете быстро найти его разложение как факторный продукт. Например, многие математики могут видеть это выражение 4х + 4х + 1 дает множители (2x + 1) и (2x + 1) по привычке и опыту (очевидно, это не так просто в случае сложных полиномов). Для этого примера давайте возьмем менее распространенное выражение:
.
-
Составьте список коэффициентов имеет и с. Используя выражение формы ax + bx + c = 0определить коэффициенты имеет и с и перечислите соответствующие факторы. Для: 3x + 2x - 8 это дает:а = 3 и имеет только одну пару факторов: 1 * 3 c = -8 и четыре пары факторов: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8. -
Напишите на своем листе бумаги две пары скобок с пробелом для записи внутри них. Вы введете константы для каждого выражения в предоставленном месте:(х) (х). -
Перед x напишите пару возможных факторов для коэффициента имеет. Для коэффициента имеет в нашем примере, 3x, есть только одна возможность:(3х) (1х). -
Затем заполните два оставшихся пустых пространства парой факторов для коэффициента с. Возьмите для примера 8 и 1. Запишите их:(3x8) (Х1). -
Решите сейчас знак (более или меньше) поставить между x и числом, которое вы поставили после него. По признаку исходного выражения можно найти то, что должно быть признаком констант. вызов час и К константы наших факторов:Если ax + bx + c, то (x + h) (x + k) Если ax - bx - c или ax + bx - c, то (x - h) (x + k) Если ax - bx + c, то (x - h) (x - k)
В нашем примере, 3x + 2x - 8, знаки должны быть расположены следующим образом: (x - h) (x + k), что дает нам следующие два фактора:(3х + 8) и (х - 1). -
Проверьте вашу факторизованную форму, перепроектировав ее. Первым быстрым тестом является проверка правильности среднего значения. Если х не хорошо, то вы, возможно, выбрали неверную пару факторов для коэффициента с, Давайте проверим наши результаты:(3x + 8) (x - 1)
Делая умножение, мы получаем:3x - 3x + 8x - 8
Добавляя аналогичные термины (-3x) и (8x) для упрощения этого выражения, мы получаем:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Теперь мы знаем, что мы, вероятно, определили неправильные факторы:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
При необходимости обменяйте свой выбор факторов. В нашем примере давайте попробуем 2 и 4 вместо 1 и 8:(3х + 2) (х - 4)
Теперь наш коэффициент с равно -8, но умножения (3x * -4) и (2 * x) дают -12x и 2x, что, кроме того, не всегда дает начальное значение б, то есть + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
При необходимости отмените порядок. Мы инвертируем в нашем примере место 2 и 4:(3х + 4) (х - 2)
Теперь коэффициент с это всегда хорошо, но коэффициенты слагаемых в x стоят на этот раз -6x и 4x. После добавления это дает:-6х + 4х = -2х 2x ≠ -2x Мы очень близки к начальному значению 2x, которое мы стремимся найти, но знак не очень хороший. -
Проверьте знаки еще раз, если это необходимо. Теперь мы будем придерживаться того же порядка, но мы будем обмениваться знаками:(3x - 4) (x + 2)
Коэффициент перед с всегда хорошо, и слагаемые в x теперь стоят (6x) и (-4x). потому что:6x - 4x = 2x 2x = 2x Итак, мы получаем 2x, которые у нас были изначально. Таким образом, мы, вероятно, нашли правильные факторы.
Метод 2 из 2: продолжить разложением
Этот метод позволит нам идентифицировать все возможные факторы для получения коэффициентов имеет и с и использовать их, чтобы определить, какие факторы являются правильными. Если числа очень велики или другие методы проб и ошибок кажутся слишком длинными, вы можете использовать этот метод. Возьмите следующий пример:
.
-
Умножьте коэффициент имеет по коэффициенту с. В нашем примере имеет равно 6 и с также равен 6.6 * 6 = 36. -
Найти коэффициент б путем факторинга, а затем тестирования полученных факторов. Мы ищем два числа, которые являются факторами продукта имеет * с который мы определили и чья сумма стоит значение коэффициента «б» (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Введите два числа, которые вы только что получили в вашем уравнении; поместите их перед x, чтобы их сумма была равна коэффициенту б. Давайте возьмем буквы К и час для представления двух полученных чисел, 4 и 9:топор + кх + вх + с 6х + 4х + 9х + 6. -
Фактор вашего полинома по группировке. Организуйте уравнение так, чтобы найти наибольший общий множитель первых двух слагаемых и наибольший общий множитель последних двух слагаемых. Затем вы должны получить сумму двух одинаковых факторизованных форм. Суммируйте два коэффициента вместе и поместите их в скобки перед вашей факторизованной формой; тогда вы получите два своих фактора:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2х + 3) (3х + 2).
Метод 3 из 3: «Тройная игра»
Этот метод очень похож на предыдущий. Это состоит из изучения возможных факторов для произведений коэффициентов имеет и сзатем используйте их, чтобы найти значение б, Возьмем для примера следующее уравнение:
-
Умножьте коэффициент имеет по коэффициенту с. Как и в случае метода декомпозиции, это поможет нам определить потенциальных кандидатов на коэффициент б, В нашем примере имеет равно 8 и с стоит 2.8 * 2 = 16. -
Найдите два числа, произведение которых является числом, найденным ранее (16), и сумма которого дает коэффициент «b». Этот шаг идентичен шагу метода декомпозиции, то есть мы тестируем и отклоняем кандидатов на константы. Произведение коэффициентов имеет и с равен 16, а коэффициент с равно 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Возьмите эти два числа и замените их в формуле «тройной игры». Возьмите два числа из предыдущего шага - давайте назовем их час и К - и представить их в следующем выражении:((топор + ч) (топор + к)) / а
Затем мы получаем:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Найти, какое из выражений в скобках в числителе делится на коэффициент имеет. В этом примере мы проверяем, можно ли разделить (8x + 8) или (8x + 2) на 8. (8x + 8) делится на 8, тогда мы разделим это выражение на имеет и оставь другое выражение как есть.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Выражение, которое мы сохраняем здесь, является тем, которое остается после деления на коэффициент имеет : (х + 1). -
Найдите - если есть - больший общий фактор в обеих скобках. В нашем примере второе выражение имеет больший общий множитель 2, так как 8x + 2 = 2 (4x + 1). Объедините этот ответ с выражением, которое вы нашли на предыдущем шаге. Таким образом, вы нашли два фактора вашего полинома.2 (х + 1) (4х + 1).
Метод 4 из 4: Разница двух квадратов
Некоторые коэффициенты полиномов можно идентифицировать как «квадраты», то есть как произведения умножения двух чисел. Выявив эти квадраты, вы можете разложить некоторые многочлены гораздо быстрее. Возьмем для примера уравнение:
-
Начните с того, чтобы все перевести в общий общий фактор, если это возможно. В нашем примере мы видим 27 и 12, которые делятся на 3, поэтому мы можем «разорвать» исходное выражение следующим образом:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Определите, являются ли коэффициенты вашего уравнения квадратными числами. Чтобы использовать этот метод, вы должны быть в состоянии найти квадратные корни для ваших коэффициентов (обратите внимание, что мы не учитываем отрицательные знаки - поскольку мы имеем дело с квадратами, они могут быть произведением двух положительных чисел или отрицательный)9х = 3х * 3х и 4 = 2 * 2. -
Используя найденные квадратные корни, напишите свои факторы. Принять значения имеет и с ранее найденный - имеет = 9 и с = 4 - прежде чем найти их квадратный корень - √имеет = 3 и √с = 2. Это будут коэффициенты наших факторизованных выражений:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Метод 5 из 5: Использование квадратной формулы
Если все вышеперечисленные методы не помогли, и вы не можете найти правильные коэффициенты для своего уравнения, используйте квадратную формулу. Возьмите следующий пример:
-
Возьмите значения коэффициентов «a», «b» и «c» и замените их в следующей квадратной формуле:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Затем мы получаем выражение:х = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Решите уравнение, чтобы найти х. Как вы можете видеть выше, вы должны получить два значения x:
х = -2 + √ (3) или х = -2 - √ (3). -
Используйте значение х, чтобы найти факторы. Введите значения x, полученные ранее, как константы двух полиномиальных выражений. Это будут ваши факторы. вызов час и К значения х, и запишите две факторизованные формы:(х - ч) (х - к)
В этом случае конечный результат:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Метод 6 из 6: Использование калькулятора
Если вам разрешено использовать графический калькулятор, имейте в виду, что это значительно облегчит вашу задачу, особенно во время экзаменов. Эти инструкции действительны только для графических калькуляторов марки Texas Instrument. Возьмем для примера следующее уравнение:
-
Введите ваше уравнение в калькуляторе. Вам придется использовать «уравнение резольвера», то есть экран. -
Сделайте графическое представление вашего уравнения на калькуляторе. После ввода уравнения нажмите - вы должны увидеть графическое представление кривой (точнее, вы получите «дугу», потому что вы работаете с полиномами). -
Найти точки пересечения дуги с осью х (х). Поскольку полиномиальные уравнения традиционно записываются в виде: ax + bx + c = 0, это два значения x, для которых выражение равно нулю:(-1, 0), (2 , 0) х = -1, х = 2. - Если вы не можете прочитать значения, где ваша кривая пересекает ось X, нажмите затем. Нажмите или выберите «ноль». Переместите курсор влево от одного из перекрестков и нажмите. Затем переместите курсор вправо от этого пересечения и снова нажмите. Затем переместите курсор как можно ближе к перекрестку и снова нажмите. Калькулятор найдет значение х. Сделайте то же самое затем для другого перекрестка.
-
Наконец, введите значения x, полученные на предыдущем шаге, в двухфакторное выражение. Если мы позвоним час и К наши два значения х, тогда мы будем использовать следующее выражение:(х - ч) (х - к) = 0
И так, мы получим следующие два фактора:(х - (-1)) (х - 2) = (х + 1) (х - 2).
- Карандаш
- бумага
- Уравнение второй степени (или квадратное уравнение)
- Графический калькулятор (опционально)